二叉树数组表示
在链表表示下，二叉树的存储单元为节点 TreeNode ，节点之间通过指针相连接。在上节中，我们学习了在链表表示下的二叉树的各项基本操作。
那么，我们能否用数组来表示二叉树呢？答案是肯定的。
表示完美二叉树
先分析一个简单案例。给定一个完美二叉树，我们将所有节点按照层序遍历的顺序存储在一个数组中，则每个节点都对应唯一的数组索引。
根据层序遍历的特性，我们可以推导出父节点索引与子节点索引之间的“映射公式”：若节点的索引为 \(i\) ，则该节点的左子节点索引为 \(2i + 1\) ，右子节点索引为 \(2i + 2\) 。下图展示了各个节点索引之间的映射关系。
映射公式的角色相当于链表中的指针。给定数组中的任意一个节点，我们都可以通过映射公式来访问它的左（右）子节点。
表示任意二叉树
完美二叉树是一个特例，在二叉树的中间层通常存在许多 \(\text{None}\) 。由于层序遍历序列并不包含这些 \(\text{None}\) ，因此我们无法仅凭该序列来推测 \(\text{None}\) 的数量和分布位置。这意味着存在多种二叉树结构都符合该层序遍历序列。
如下图所示，给定一个非完美二叉树，上述的数组表示方法已经失效。
为了解决此问题，我们可以考虑在层序遍历序列中显式地写出所有 \(\text{None}\) 。如下图所示，这样处理后，层序遍历序列就可以唯一表示二叉树了。
# 二叉树的数组表示
# 使用 None 来表示空位
tree = [1, 2, 3, 4, None, 6, 7, 8, 9, None, None, 12, None, None, 15]
/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 int 最大值 INT_MAX 标记空位
vector<int> tree = {1, 2, 3, 4, INT_MAX, 6, 7, 8, 9, INT_MAX, INT_MAX, 12, INT_MAX, INT_MAX, 15};
/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 int 的包装类 Integer ，就可以使用 null 来标记空位
Integer[] tree = { 1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15 };
/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 int? 可空类型 ，就可以使用 null 来标记空位
int?[] tree = { 1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15 };
/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 any 类型的切片, 就可以使用 nil 来标记空位
tree := []any{1, 2, 3, 4, nil, 6, 7, 8, 9, nil, nil, 12, nil, nil, 15}
/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 Int? 可空类型 ，就可以使用 nil 来标记空位
let tree: [Int?] = [1, 2, 3, 4, nil, 6, 7, 8, 9, nil, nil, 12, nil, nil, 15]
/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 null 来表示空位
let tree = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];
/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 null 来表示空位
let tree: (number | null)[] = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];
/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 int? 可空类型 ，就可以使用 null 来标记空位
List<int?> tree = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];
/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 None 来标记空位
let tree = [Some(1), Some(2), Some(3), Some(4), None, Some(6), Some(7), Some(8), Some(9), None, None, Some(12), None, None, Some(15)];
/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 int 最大值标记空位，因此要求节点值不能为 INT_MAX
int tree[] = {1, 2, 3, 4, INT_MAX, 6, 7, 8, 9, INT_MAX, INT_MAX, 12, INT_MAX, INT_MAX, 15};
值得说明的是，完全二叉树非常适合使用数组来表示。回顾完全二叉树的定义，\(\text{None}\) 只出现在最底层且靠右的位置，因此所有 \(\text{None}\) 一定出现在层序遍历序列的末尾。
这意味着使用数组表示完全二叉树时，可以省略存储所有 \(\text{None}\) ，非常方便。下图给出了一个例子。
以下代码实现了一个基于数组表示的二叉树，包括以下几种操作。
- 给定某节点，获取它的值、左（右）子节点、父节点。
- 获取前序遍历、中序遍历、后序遍历、层序遍历序列。
优势与局限性
二叉树的数组表示主要有以下优点。
- 数组存储在连续的内存空间中，对缓存友好，访问与遍历速度较快。
- 不需要存储指针，比较节省空间。
- 允许随机访问节点。
然而，数组表示也存在一些局限性。
- 数组存储需要连续内存空间，因此不适合存储数据量过大的树。
- 增删节点需要通过数组插入与删除操作实现，效率较低。
- 当二叉树中存在大量 \(\text{None}\) 时，数组中包含的节点数据比重较低，空间利用率较低。