二分查找¶

「二分查找 binary search」是一种基于分治策略的高效搜索算法。它利用数据的有序性，每轮减少一半搜索范围，直至找到目标元素或搜索区间为空为止。

Question

给定一个长度为 \(n\) 的数组 nums ，元素按从小到大的顺序排列，数组不包含重复元素。请查找并返回元素 target 在该数组中的索引。若数组不包含该元素，则返回 \(-1\) 。

如下图所示，我们先初始化指针 \(i = 0\) 和 \(j = n - 1\) ，分别指向数组首元素和尾元素，代表搜索区间 \([0, n - 1]\) 。请注意，中括号表示闭区间，其包含边界值本身。

接下来，循环执行以下两步。

计算中点索引 \(m = \lfloor {(i + j) / 2} \rfloor\) ，其中 \(\lfloor \: \rfloor\) 表示向下取整操作。
判断 nums[m] 和 target 的大小关系，分为以下三种情况。
1. 当 nums[m] < target 时，说明 target 在区间 \([m + 1, j]\) 中，因此执行 \(i = m + 1\) 。
2. 当 nums[m] > target 时，说明 target 在区间 \([i, m - 1]\) 中，因此执行 \(j = m - 1\) 。
3. 当 nums[m] = target 时，说明找到 target ，因此返回索引 \(m\) 。

若数组不包含目标元素，搜索区间最终会缩小为空。此时返回 \(-1\) 。

值得注意的是，由于 \(i\) 和 \(j\) 都是 int 类型，因此 \(i + j\) 可能会超出 int 类型的取值范围。为了避免大数越界，我们通常采用公式 \(m = \lfloor {i + (j - i) / 2} \rfloor\) 来计算中点。

PythonC++JavaC#GoSwiftJSTSDartRustCZig

binary_search.py

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binary_search.cpp

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binary_search.java

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binary_search.cs

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binary_search.go

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binary_search.js

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binary_search.rs

[class]{}-[func]{binary_search}

binary_search.c

[class]{}-[func]{binarySearch}

binary_search.zig

[class]{}-[func]{binarySearch}

时间复杂度 \(O(\log n)\) ：在二分循环中，区间每轮缩小一半，循环次数为 \(\log_2 n\) 。

空间复杂度 \(O(1)\) ：指针 \(i\) 和 \(j\) 使用常数大小空间。

区间表示方法¶

除了上述的双闭区间外，常见的区间表示还有“左闭右开”区间，定义为 \([0, n)\) ，即左边界包含自身，右边界不包含自身。在该表示下，区间 \([i, j]\) 在 \(i = j\) 时为空。

我们可以基于该表示实现具有相同功能的二分查找算法。