小结

重点回顾

• 图由顶点和边组成，可以被表示为一组顶点和一组边构成的集合。
• 相较于线性关系（链表）和分治关系（树），网络关系（图）具有更高的自由度，因而更为复杂。
• 有向图的边具有方向性，连通图中的任意顶点均可达，有权图的每条边都包含权重变量。
• 邻接矩阵利用矩阵来表示图，每一行（列）代表一个顶点，矩阵元素代表边，用 \(1\) 或 \(0\) 表示两个顶点之间有边或无边。邻接矩阵在增删查操作上效率很高，但空间占用较多。
• 邻接表使用多个链表来表示图，第 \(i\) 条链表对应顶点 \(i\) ，其中存储了该顶点的所有邻接顶点。邻接表相对于邻接矩阵更加节省空间，但由于需要遍历链表来查找边，时间效率较低。
• 当邻接表中的链表过长时，可以将其转换为红黑树或哈希表，从而提升查询效率。
• 从算法思想角度分析，邻接矩阵体现“以空间换时间”，邻接表体现“以时间换空间”。
• 图可用于建模各类现实系统，如社交网络、地铁线路等。
• 树是图的一种特例，树的遍历也是图的遍历的一种特例。
• 图的广度优先遍历是一种由近及远、层层扩张的搜索方式，通常借助队列实现。
• 图的深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走时再回溯的搜索方式，常基于递归来实现。

Q & A

路径的定义是顶点序列还是边序列？

维基百科上不同语言版本的定义不一致：英文版是“路径是一个边序列”，而中文版是“路径是一个顶点序列”。以下是英文版原文：In graph theory, a path in a graph is a finite or infinite sequence of edges which joins a sequence of vertices. 在本文中，路径被认为是一个边序列，而不是一个顶点序列。这是因为两个顶点之间可能存在多条边连接，此时每条边都对应一条路径。

非连通图中，是否会有无法遍历到的点？

在非连通图中，从某个顶点出发，至少有一个顶点无法到达。遍历非连通图需要设置多个起点，以遍历到图的所有连通分量。

在邻接表中，“与该顶点相连的所有顶点”的顶点顺序是否有要求？

可以是任意顺序。但在实际应用中，可能会需要按照指定规则来排序，比如按照顶点添加的次序、或者按照顶点值大小的顺序等等，这样可以有助于快速查找“带有某种极值”的顶点。