图基础操作¶
图的基础操作可分为对“边”的操作和对“顶点”的操作。在“邻接矩阵”和“邻接表”两种表示方法下，实现方式有所不同。
基于邻接矩阵的实现¶
给定一个顶点数量为 \(n\) 的无向图，则各种操作的实现方式如下图所示。
- 添加或删除边：直接在邻接矩阵中修改指定的边即可，使用 \(O(1)\) 时间。而由于是无向图，因此需要同时更新两个方向的边。
- 添加顶点：在邻接矩阵的尾部添加一行一列，并全部填 \(0\) 即可，使用 \(O(n)\) 时间。
- 删除顶点：在邻接矩阵中删除一行一列。当删除首行首列时达到最差情况，需要将 \((n-1)^2\) 个元素“向左上移动”，从而使用 \(O(n^2)\) 时间。
- 初始化：传入 \(n\) 个顶点，初始化长度为 \(n\) 的顶点列表
vertices，使用 \(O(n)\) 时间；初始化 \(n \times n\) 大小的邻接矩阵adjMat，使用 \(O(n^2)\) 时间。
以下是基于邻接矩阵表示图的实现代码。
基于邻接表的实现¶
设无向图的顶点总数为 \(n\)、边总数为 \(m\) ，则可根据下图所示的方法实现各种操作。
- 添加边：在顶点对应链表的末尾添加边即可，使用 \(O(1)\) 时间。因为是无向图，所以需要同时添加两个方向的边。
- 删除边：在顶点对应链表中查找并删除指定边，使用 \(O(m)\) 时间。在无向图中，需要同时删除两个方向的边。
- 添加顶点：在邻接表中添加一个链表，并将新增顶点作为链表头节点，使用 \(O(1)\) 时间。
- 删除顶点：需遍历整个邻接表，删除包含指定顶点的所有边，使用 \(O(n + m)\) 时间。
- 初始化：在邻接表中创建 \(n\) 个顶点和 \(2m\) 条边，使用 \(O(n + m)\) 时间。
以下是基于邻接表实现图的代码示例。细心的同学可能注意到，我们在邻接表中使用 Vertex 节点类来表示顶点，而这样做是有原因的。
- 如果我们选择通过顶点值来区分不同顶点，那么值重复的顶点将无法被区分。
- 如果类似邻接矩阵那样，使用顶点列表索引来区分不同顶点。那么，假设我们想要删除索引为 \(i\) 的顶点，则需要遍历整个邻接表，将其中 \(> i\) 的索引全部减 \(1\) ，这样操作效率较低。
- 因此我们考虑引入顶点类
Vertex，使得每个顶点都是唯一的对象，此时删除顶点时就无须改动其余顶点了。
效率对比¶
设图中共有 \(n\) 个顶点和 \(m\) 条边，下表对比了邻接矩阵和邻接表的时间和空间效率。
表
| 邻接矩阵 | 邻接表（链表） | 邻接表（哈希表） | |
|---|---|---|---|
| 判断是否邻接 | \(O(1)\) | \(O(m)\) | \(O(1)\) |
| 添加边 | \(O(1)\) | \(O(1)\) | \(O(1)\) |
| 删除边 | \(O(1)\) | \(O(m)\) | \(O(1)\) |
| 添加顶点 | \(O(n)\) | \(O(1)\) | \(O(1)\) |
| 删除顶点 | \(O(n^2)\) | \(O(n + m)\) | \(O(n)\) |
| 内存空间占用 | \(O(n^2)\) | \(O(n + m)\) | \(O(n + m)\) |
观察上表，似乎邻接表（哈希表）的时间与空间效率最优。但实际上，在邻接矩阵中操作边的效率更高，只需要一次数组访问或赋值操作即可。综合来看，邻接矩阵体现了“以空间换时间”的原则，而邻接表体现了“以时间换空间”的原则。